Viata si opera lui Arhimede

 

Arhimede este cel mai cunoscut matematician si inventator al Greciei antice. Cea mai importanta contributie a lui este descoperirea relatiei dintre suprafata si volumul unei sfere si cilindrul circumscris ei. A enuntat principiul hidrostaticii, cunoscut si ca principiul lui Arhimede, si i se atribuie inventarea unui dispozitiv de transportare a apei, folosit inca in tarile in curs de dezvoltare, numit surubul lui Arhimede.

 

Viata

Arhimede a trait probabil un timp in Egipt, la inceputul carierei, dar cea mai mare parte din viata si-a petrecut-o la Siracusa, principalul oras-stat grec din Sicilia, unde a fost prieten cu regele Hieron II. Arhimede si-a scris lucrarile sub forma unei corespondente cu cei mai buni matematicieni ai timpului, inclusiv cu carturarii alexandrini Conon din Samos si Eratostene din Cyrene. A jucat un rol important in apararea Siracusei impotriva atacului romanilor din 213 i.e.n, contruind masini de razboi eficiente, care au impiedicat mult timp cucerirea orasului. In cele din urma, Siracusa s-a predat generalului roman Marcus Claudius Marcellus, in toamna lui 212 i.e.n, sau in primavara lui 211 i.e.n, iar Arhimede a fost ucis in timpul pradarii orasului.

 

Despre viata lui Arhimede se cunosc mai multe amanunte decat despre orice alt savant al Antichitatii, dar ele sunt mai curand anecdotice, reflectand faptul ca geniul sau in ale mecanicii a impresionat imaginatia populara. Astfel, i se atribuie inventarea surubului care ii poarta numele si se presupune ca ar fi creat doua “sfere” pe care Marcellus le-a dus cu sine la Roma – una fiind un glob stelar si cealalta un dispozitiv care reprezenta mecanica miscarilor Soarelui, ale Lunii si ale planetelor.

Povestea cum ca ar fi determinat proportia de aur si de argint dintr-o ghirlanda facuta pentru Hieron cantarind-o in apa este probabil adevarata, dar istoria conform careia ar fi sarit din baie, unde se presupune ca i-a venit ideea principiului hidrostatic, si a alergat gol pe strazi, strigand Evrika! (in greaca, am gasit), este exagerata. La fel de false sunt si alte anecdote: ca ar fi folosit un sir de oglinzi uriase pentru a incendia corabiile ce asediau Siracusa, ca ar fi spus “Dati-mi un punct de sprijin si voi urni Pamantul din loc” si ca un soldat roman l-ar fi ucis pentru ca a refuzat sa plece de langa cercurile pe care le desenase pe nisip – chiar daca sunt reflectii populare ale interesului sau real pentru catopica (ramura a opticii care se ocupa cu reflexia luminii cu ajutorul oglinzilor, plane sau curbe), pentru mecanica si pentru matematica pura.

 

Conform lui Plutarh (cca 46-119 e.n), lui Arhimede nu i se pareau extraordinare inventiile sale practice in care a excelat si carora le-a datorat faima sa contemporana, de aceea nu a lasat nici o lucrare scrisa despre ele. In acelasi timp, desi este adevarat ca pe langa o referinta nesigura la un tratat “Despre producerea sferelor”, toate lucrarile sale cunoscute au caracter teoretic, interesul sau pentru mecanica i-a influentat puternic gandirea matematica. Nu numai ca a scris lucrari despre mecanica teoretica si despre hidrostatica, dar tratatul lui “Metoda privind teoremele mecanice” arata ca a folosit rationamente mecanice drept dispozitiv euristic pentru descoperirea de noi teoreme matematice.

 

Opera

S-au pastrat noua tratate scrise de Arhimede. Ideile de baza ale lucrarii “Despre sfera si cilindru” sunt ca suprafata oricarei sfere cu raza r este de patru ori cat a celui mai mare cerc al sau si ca volumul unei sfere reprezinta doua treimi din cel al cilindrului in care este inscrisa. Arhimede a fost atat de mandru de aceasta ultima descoperire, incat a cerut ca mormantul lui sa fie marcat cu o sfera inscrisa intr-un cilindru. Marcus Tullius Cicero (106-42 i.e.n) a gasit mormantul, napadit de buruieni, la un secol si jumatatea de la moartea lui Arhimede.

 

Masurarea cercului este un fragment dintr-o lucrare mai lunga, in care pi, raportul proportie al circumferintei la diametrul unui cerc, este prezentat ca fiind limitele 3×10/71 si 3×1/7. Abordarea la care a recurs Arhimede pentru a determina valoarea lui pi, ce consta in a inscrie si a circumscrie poligoane regulate cu un mare numar de laturi, a fost urmata de toata lumea pana la dezvoltarea unei serii infinite in India in timpul sec. XV si in Europa in sec. XVII. Aceasta lucrare contine, de asemenea, aproximari corecte ale radacinii patrate a numarului 3 si a altor catorva numere mari.

 

In “Despre canoide si sferoide”, Arhimede a incercat sa determine volumele segmentelor solidelor formate de revolutia unei sectiuni conice in jurul axei sale. In termeni moderni, este precursorul calculatorului integral. In “Spirale” dezvolta multe proprietati ale tangentelor si ale zonelor asociate spiralei lui Arhimede – cum ar fi locul geometric al unui punct care se misca cu viteza uniforma in jurul unui punct fix. Aceasta a fost una dintre cele cateva curbe cunoscute in Antichitate pe langa linia dreapta si sectiunile conice.

 

In “Despre echilibrul planurilor” a fost preocupat de stabilirea centrelor de gravitatie ale diferitelor figuri plane rectilinii si segmente ale parabolei si paraboloidului. Prima carte avea drept scop sa stabileasca “legea parghiei”; datorita acestui tratat, Arhimede a fost considerat fondatorul mecanicii teoretice. Totusi, mare parte din acest tratat nu este, fara indoiala, autentic, fiind format in realitate, din adaosuri ulterioare sau reformulari, iar principiul de baza al legii parghiei si – posibil – conceptul centrului gravitatiei sa fi fost stabilite matematic de catre matematicienii dinaintea lui Arhimede. Contributia sa a constat, mai degraba, in extinderea acestor concepte la sectiunile conice.

 

“Cvadratura parabolei” demonstreaza, intai prin mijloace mecanice, apoi prin metode geometrice conventionale, ca suprafata oricarui segment al unei parabole este 4/3 din suprafata triunghiului ce are aceeasi baza si greutate ca acel segment. Din nou, aceasta este o problema inca in discutie.

 

“Calculatorul de nisip” este un scurt tratat, un “jeu d’esprit” scris pentru profani – i se adreseaza lui Gelon, fiul lui Hieron – care contine totusi unele notiuni originale profunde de matematica. Scopul sau este sa remedieze inadvertentele din sistemul de notare numeric grec, aratand cum poate fi exprimat un numar urias: numarul de fire de nisip care ar fi necesare pentru a umple intregul univers. De fapt, Arhimede nu face decat sa creeze un sistem de notare a valorii locului, cu baza de 100 000 000. Aceasta era o idee complet originala pentru greci, care nu cunosteau sistemul de notare a valorii locului cu baza 60 al babilonienilor.

Lucrarea este interesanta si intrucat ofera cea mai detaliata descriere a sistemului heliocentric al lui Aristarh din Samosl si deoarece contine cateva proceduri ingenioase pe care Arhimede le-a folosit ca sa determine diametrul posibil al Soarelui prin observarea lui cu un instrument.

 

“Metoda privind teoremele mecanice” descrie un proces al descoperirii in matematica. Este singura lucrare care ne-a parvenit din Antichitate si una dintre putinele de acest fel din orice perioada. Arhimede relateaza cum a folosit o metoda “mecanica” pentru a ajunge la unele dintre descoperirile sale cheie, precum suprafata si volumul unei sfere.

Tehnica este impartirea fiecareia dintre cele doua figuri intr-un numar infinit, dar egal, de fasii imperceptibil de subtiri, ca apoi sa “cantareasca” fiecare pereche corespondenta a acestor fasii una impotriva alteia pe o balanta notionala, pentru a obtine raportul proportional al celor doua figuri originare. Arhimede atrage atentia ca aceasta procedura nu constituie o dovada riguroasa, chiar daca este folositoare ca metoda euristica.

 

“Despre corpurile plutitoare” a supravietuit doar partial in greaca, restul aflandu-se intr-o traducere in latina medievala. Este prima lucrare cunoscuta de hidrostatica, disciplina al carei fondator este considerat Arhimede. Scopul sau este de a stabili pozitiile pe care le iau diferite solide cand plutesc intr-un lichid, conform formei lor si variatiei in centrele lor de greutate specifice. In primul volum, sunt stabilite diferite principii generale, in special ceea ce a devenit cunoscut ca fiind principiul lui Arhimede: un corp scufundat intr-un lichid este impins ascendent pe verticala cu o forta egala cu greutatea volumului de lichid dislocat. Al doilea tom al lucrarii este un tur de forta matematic neegalat in Antichitate si rareori egalat mai tarziu. In acesta, Arhimede determina pozitiile diferite de stabilitate pe care le ia un paraboloid atunci cand pluteste intr-un fluid cu un centru de greutate mai mare, conform variatiilor hidrostatice si geometrice.

 

De la alti autori, se stie ca Arhimede a scris si alte lucrari care nu au supravietuit. De un interes special se bucura tratatele despre catopica in care se discuta, printre altele, fenomenul refractiei; pe 13 poliedre neregulate; si Problema vitelor, pastrata intr-o epigrama greaca, care pune o problema in analiza nedefinita cu opt necunoscute. Pe langa acestea, au supravietuit cateva lucrari traduse in limba araba, atribuite lui Arhimede, care nu ar fi putut fi scrise de el in forma transmisa, desi pot contine elemente “arhimedice”. Printre ele se afla o lucrare despre inscrierea unui heptagon regulat intr-un cerc, o colectie de leme (propozitii presupuse a fi adevarate, daca sunt folosite pentru a demonstra o teorema) si o carte, “Despre cercurile care se ating”, ambele de geometrie plana elementara, si “Stomahion”, in care se vorbeste despre un patrat impartit in 14 piese pentru un joc sau un puzzle.

 

Demonstratiile matematice ale lui Arhimede si prezentarea arata o mare indrazneala si originalitate a gandirii, pe de o parte, si rigoare extrema, pe de alta parte, atingand cele mai inalte standarde ale geometriei contemporane.

In timp ce “Metoda” arata ca a ajuns la formule pentru suprafata si volum din motive “mecanice” care includeau infinitezimalele, in demonstratiile rezultatelor din Sfera si cilindru, foloseste doar metodele riguroase ale aproximarii finite succesive, care a fost inventata de Eudoxus din Cnid in sec. IV i.en. Aceste metode, in care Arhimede era maestru, reprezinta procedura standard in toate lucrarile sale de geometrie, care se ocupa cu demonstrarea rezultatelor referitoare la suprafete si volume. Rigoarea lor matematica este in puternic contrast cu “demonstratiile” primilor profesionisti in calculul integral din sec. XVII, cand au fost reintroduse infinitezimalele in matematica. Totusi, rezultatele lui Arhimede nu sunt mai putin impresionante decat ale lor. Aceeasi libertate fata de modurile conventionale de a gandi apare in campul aritmetic din Calculatorul de nisip, ceea ce indica o intelegere adanca a naturii sistemului numeric.

 

In Antichitate, Arhimede a fost cunoscut si ca astronom exceptional: observatiile sale asupra solstitiilor au fost folosite de Hiparh (cca 140 i.en) cel mai de seama astronom antic. Se stie foarte putin despre aceasta latura a activitatii lui Arhimede, desi “Calculatorul de nisip” dezvaluie interesul sau deosebit pentru astronomie si puterea de observatie practica. Totusi, exista un set de numere atribuite lui care dadeau distantele de la Pamant pana la diferite corpuri ceresti, despre care s-a demonstrat ca nu s-au bazat pe date astronomice observate, ci pe o teorie “pitagoreica” in care intervalele spatiale dintre planete erau asociate cu intervalele muzicale. Insa este surprinzator sa gasim aceste speculatii metafizice in lucrarea unui astronom practic, deci este un bun motiv sa credem ca atribuirea lor lui Arhimede este corecta.

 

In ciuda importantei si originalitatii realizarilor lui Arhimede, influenta matematicii lui in Antichitate a fost mai degraba mica. Unele dintre teoremele sale care puteau fi doar exprimate – cum ar fi formulele pentru aria suprafetei si pentru volumul unei sfere – au devenit banalitati matematice, iar una dintre limitele pe care le-a stabilit pentru pi, 22/7, a fost adoptata ca fiind aproximatia obisnuita a acestuia in Antichitate si Evul Mediu. Totusi, directia stabilita de el in domeniul matematicii nu a fost continuata sau dezvoltata, din cate se stie, in Antichitate, in ciuda sperantei sale – exprimate in Metoda – ca publicarea acesteia va permite celorlalti sa faca noi descoperiri. Insa, atunci cand unele dintre tratatele sale au fost traduse in araba la sfarsitul sec. VIII sau IX e.n, cativa matematicieni musulmani medievali au gasit in ele imboldul sa-i egaleze ori sa-i imbunatateasca realizarile.

Interesul lor s-a manifestat mai ales fata de determinarea volumelor solidelor de revolutie, dar influenta sa este, de asemenea, evidenta in determinarea centrelor de greutate si in problemele de constructii geometrice. Astfel, cateva lucrari meritorii ale matematicienilor musulmani medievali au fost inspirate de studierea lucrarilor lui Arhimede.

 

Cel mai mare impact al lui Arhimede asupra matematicienilor de mai tarziu a venit in sec. XVI si XVII odata cu tiparirea textelor traduse din greaca si, in cele din urma, ale textelor grecesti originale, cunoscute ca Editio Priceps, la Basel, in 1544.

Traducerea in latina a multora dintre lucrarile lui Arhimede de catre Federico Commandino in 1558, a contribuit in mare masura la raspandirea cunostintelor pe care le cuprindeau, fapt reflectat in lucrarile celor mai importanti matematicieni si fizicieni ai vremii, printre care Johannes Kepler (1571-1630) si Galileo Galilei (1564-1642).

Editia si traducerea in latina a operelor complete, facuta de David Rivault (1615), inclusiv comentariile antice, a avut o extrem de mare influenta asupra unor dintre cei mai mari matematicieni din sec. XVII, in special Rene Descartes (1596-1650) si Pierre de Fermat (1601-1665). Fara fundalul matematicienilor antici redescoperiti, dezvoltarea matematicii in Europa in perioada 1550-1650 este de neconceput.

 

Articolul este preluat, cu acordul editorilor, din Enciclopedia Britannica, volumul 1.

Enciclopedia Britannica poate fi achizitionata in fiecare vineri, impreuna cu Jurnalul National.

Daca ati pierdut un volum, il puteti comanda de pe siteul www.enciclopediabritannica.ro